نحوه بدست آمدن فرمول های تبادل گرمایی

برای به دست آوردن فرمول‌های تبادل گرمایی (Heat Transfer)، باید اصول فیزیکی و ریاضیاتی مربوط به انتقال حرارت را درک کنیم. انتقال حرارت به سه روش اصلی انجام می‌شود: رسانش (Conduction)، جابجایی (Convection) و تابش (Radiation). در زیر، نحوه به دست آوردن فرمول‌های اصلی برای هر یک از این روش‌ها را توضیح می‌دهم:

1. رسانش (Conduction):

رسانش حرارتی انتقال گرما از طریق یک ماده است که به دلیل اختلاف دما بین نقاط مختلف آن ماده رخ می‌دهد.

• قانون فوریه (Fourier’s Law):
  این قانون اساس رسانش حرارتی است و بیان می‌کند که شار حرارتی (Heat Flux) متناسب با گرادیان دما است. شار حرارتی مقدار گرمایی است که در واحد زمان از واحد سطح عبور می‌کند.
  $q = -k \frac{dT}{dx}$
  که در آن:
  • $q$: شار حرارتی (W/m²)
  • $k$: ضریب رسانش حرارتی (Thermal Conductivity) ماده (W/m·K)
  • $\frac{dT}{dx}$: گرادیان دما در جهت x (K/m)
  • علامت منفی نشان می‌دهد که گرما از دمای بالا به دمای پایین منتقل می‌شود.
• به دست آوردن فرمول برای یک دیوار تخت (Plane Wall):
  فرض کنید یک دیوار تخت با ضخامت L و اختلاف دمای $\Delta T = T_2 – T_1$ در دو طرف آن داریم. با انتگرال‌گیری از قانون فوریه، می‌توانیم فرمول انتقال حرارت را به دست آوریم:
  $q = -k \frac{dT}{dx} \Rightarrow \int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{q}{k} \int_0^L dx$
  $T_2 – T_1 = -\frac{q}{k} (L – 0) \Rightarrow \Delta T = -\frac{q}{k} L$
  بنابراین، شار حرارتی برابر است با:
  $q = -k \frac{\Delta T}{L}$
  و مقدار گرمای منتقل شده در واحد زمان (Q) از طریق سطح A برابر است با:
  $Q = qA = -kA \frac{\Delta T}{L}$

2. جابجایی (Convection):

جابجایی حرارتی انتقال گرما از طریق حرکت سیالات (مایع یا گاز) است. این فرآیند شامل دو مکانیزم رسانش و انتقال جرم است.

• قانون نیوتن برای سرمایش (Newton’s Law of Cooling):
  این قانون بیان می‌کند که شار حرارتی ناشی از جابجایی متناسب با اختلاف دما بین سطح و سیال است.
  
  که در آن:
  • $q$: شار حرارتی (W/m²)
  • $h$: ضریب انتقال حرارت جابجایی (Convective Heat Transfer Coefficient) (W/m²·K)
  • $T_s$: دمای سطح (K)
  • $T_\infty$: دمای سیال دور از سطح (Bulk Temperature) (K)
• به دست آوردن مقدار گرمای منتقل شده:
  مقدار گرمای منتقل شده در واحد زمان (Q) از طریق سطح A برابر است با:
  $Q = qA = hA(T_s – T_\infty)$

3. تابش (Radiation):

تابش حرارتی انتقال گرما از طریق امواج الکترومغناطیسی است و نیازی به محیط مادی ندارد.

• قانون استفان-بولتزمن (Stefan-Boltzmann Law):
  این قانون بیان می‌کند که توان تابش شده از یک جسم سیاه (Black Body) متناسب با توان چهارم دمای مطلق آن است.
  $E = \sigma T^4$
  که در آن:
  • $E$: توان تابش شده از جسم سیاه (W/m²)
  • $\sigma$: ثابت استفان-بولتزمن ($5.67 \times 10^{-8} \, W/m^2K^4$)
  • $T$: دمای مطلق سطح (K)
• جسم خاکستری (Gray Body):
  برای اجسام واقعی (غیر از جسم سیاه)، از ضریب تابش (Emissivity) استفاده می‌شود که نشان می‌دهد یک جسم چقدر خوب تابش می‌کند نسبت به یک جسم سیاه.
  $E = \epsilon \sigma T^4$
  که در آن:
  • $\epsilon$: ضریب تابش (0 ≤ ε ≤ 1)
• تبادل حرارت تابشی بین دو سطح:
  برای دو سطح با دماهای $T_1$ و $T_2$ و ضرایب تابش $\epsilon_1$ و $\epsilon_2$, مقدار گرمای منتقل شده از سطح 1 به سطح 2 در واحد زمان (Q) برابر است با:
  $Q = A_1 F_{12} \epsilon_1 \epsilon_2 \sigma (T_1^4 – T_2^4)$
  که در آن:
  • $A_1$: مساحت سطح 1 (m²)
  • $F_{12}$: فاکتور دید (View Factor) بین سطح 1 و سطح 2 که نشان می‌دهد چه مقدار از تابش سطح 1 به سطح 2 می‌رسد.

خلاصه:

• رسانش: $Q = -kA \frac{\Delta T}{L}$
• جابجایی: $Q = hA(T_s – T_\infty)$
• تابش: $Q = A_1 F_{12} \epsilon_1 \epsilon_2 \sigma (T_1^4 – T_2^4)$

این فرمول‌ها از ترکیب اصول ترمودینامیک، مکانیک سیالات و الکترومغناطیس به دست می‌آیند و برای تحلیل و طراحی سیستم‌های انتقال حرارت بسیار مهم هستند. هر یک از این فرمول‌ها می‌توانند بسته به شرایط خاص مسئله، تغییر کنند و پیچیده‌تر شوند.