نحوه بدست آمدن فرمول نیروی شناوری

[latexpage]

فرمول نیروی شناوری، که به عنوان اصل ارشمیدس نیز شناخته می‌شود، بیان می‌کند که نیروی شناوری وارد بر جسمی که در شاره (مایع یا گاز) غوطه‌ور است، برابر با وزن شاره‌ای است که توسط آن جسم جابجا می‌شود.

این اصل به صورت ریاضی به شکل زیر بیان می‌شود:

$ F_b = \rho_f \cdot V_f \cdot g $

که در آن:

• $ F_b $: نیروی شناوری (بر حسب نیوتن)
• $ \rho_f $ (رو-اف): چگالی شاره (بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب)
• $ V_f $: حجم شاره جابجا شده توسط جسم (بر حسب متر مکعب). این حجم برابر با حجم قسمتی از جسم است که در شاره غوطه‌ور است.
• $ g $: شتاب گرانش (تقریباً $ 9.8 \, \text{m/s}^2 $ در سطح زمین)

چگونگی بدست آمدن این فرمول:

این فرمول از اصول تعادل فشار در شاره‌ها ناشی می‌شود:

1. فشار در شاره‌ها: در یک شاره، فشار با افزایش عمق، افزایش می‌یابد. این افزایش فشار به دلیل وزن ستون شاره بالای آن نقطه است. فرمول فشار در شاره برابر است با: $ P = \rho \cdot h \cdot g $ (که $ P $ فشار، $ \rho $ چگالی شاره، $ h $ عمق و $ g $ شتاب گرانش است).
2. نیروی وارد بر سطوح غوطه‌ور: هنگامی که جسمی در شاره غوطه‌ور می‌شود، از تمام سطوح آن نیروهای عمود بر سطح وارد می‌شود. این نیروها ناشی از فشار شاره در نقاط مختلف هستند.
3. نیروهای افقی: نیروهای افقی که از طرفین به جسم وارد می‌شوند، به دلیل تقارن و یکنواخت بودن فشار در عمق‌های یکسان، یکدیگر را خنثی می‌کنند.
4. نیروهای عمودی: نیروهای عمودی وارد بر سطوح بالایی و پایینی جسم، اثر خالص یک نیروی رو به بالا ایجاد می‌کنند که همان نیروی شناوری است.
   • بر روی سطح بالایی جسم (در عمق $ h_1 $)، فشار $ P_1 = \rho_f \cdot h_1 \cdot g $ است و نیروی رو به پایین وارد می‌شود.
   • بر روی سطح پایینی جسم (در عمق $ h_2 $، که $ h_2 > h_1 $)، فشار $ P_2 = \rho_f \cdot h_2 \cdot g $ است و نیروی رو به بالا وارد می‌شود.
   • چون $ P_2 > P_1 $، نیروی رو به بالا بزرگتر از نیروی رو به پایین است.
5. تفاوت فشار و نیروی خالص: تفاوت فشار بین سطوح پایینی و بالایی برابر است با: $ \Delta P = P_2 – P_1 = \rho_f \cdot h_2 \cdot g – \rho_f \cdot h_1 \cdot g = \rho_f \cdot (h_2 – h_1) \cdot g $.
   • اگر $ A $ مساحت سطح مقطع جسم باشد (مثلاً سطح افقی)، آنگاه نیروی شناوری برابر است با:
     $ F_b = \Delta P \cdot A = \rho_f \cdot (h_2 – h_1) \cdot g \cdot A $
   • حاصلضرب $ (h_2 – h_1) \cdot A $ همان حجم شاره جابجا شده ($ V_f $) است، یعنی حجم قسمتی از جسم که در شاره غوطه‌ور است.

بنابراین، فرمول به صورت $ F_b = \rho_f \cdot V_f \cdot g $ بدست می‌آید.

این اصل توضیح می‌دهد که چرا برخی اجسام در آب شناور می‌مانند (اگر وزنشان کمتر از نیروی شناوری باشد) و برخی دیگر غرق می‌شوند (اگر وزنشان بیشتر از نیروی شناوری باشد).